把握原理解決牛吃草問題

“牛吃草問題”是非常經(jīng)典的一類數(shù)學(xué)運(yùn)算題型，在小學(xué)奧數(shù)里通常是用“公式法”進(jìn)行求解，而在數(shù)量關(guān)系考試當(dāng)中我們更多利用核心公式列方程來求解，這兩種方法雖然本質(zhì)一樣，但是后者效率更高一些。在做題過程中很多學(xué)員反饋說我已經(jīng)把牛吃草問題的公式記熟了，但是為什么還是不會列式做題呢?原因很簡單，就是大家沒有從原理上理解牛吃草問題的公式，我們不僅要記公式，更重要的是理解公式的來源和本質(zhì)，只有做到真正地理解，才能在多變的試題中做到以不變應(yīng)萬變。

我們知道牛吃草問題的核心公式是:。其中“y”代表原有存量(即“原有草量”)，”N ”代表促使原有存量減少的變量(即“牛頭數(shù)”)，“x”代表存量的自然增長速度(即“草長度”)，“”代表存量完全消失所耗用的時(shí)間。

首先我們來分析一下這個公式：我們知道牛吃草問題描述的是一群牛去吃一片草地，牛在吃草的過程中草也在不斷的生長，但是這群牛吃草的速度要快于草生長的速度，換句話說就是這群牛每天除了吃掉新長出來的草以外，還會吃一部分原有的草，最后會把草地上的草全部吃完。那么就有原有草量=(牛群吃草速度-草生長速度)×吃完草時(shí)間，因此結(jié)合公式我們知道”N”應(yīng)該代表牛群吃草速度，但是為什么說“N” 可以表示牛頭數(shù)呢?原因就是我們默認(rèn)每頭牛的吃草速度是一樣的，而題目中沒有給出具體的值，因此我們給每頭牛的吃草速度賦值為1，那么這群牛的吃草速度為，即與牛頭數(shù)是一致的，因此可以用牛頭數(shù)來代替，而草的生長速度我們也不知道，那么我們就將其設(shè)為每頭牛吃草速度的x倍，即x。但是當(dāng)題目中給出每頭牛的吃草速度時(shí)需要注意=牛頭數(shù)×每頭牛吃草速度，此時(shí)我們?nèi)匀豢梢栽O(shè)草的生長速度為。

當(dāng)然，在實(shí)際考試過程中牛吃草模型可以套用到游泳池放水、漏船排水、窗口售票、資源開采等各種環(huán)境，但是萬變不離其宗，只要我們能夠明確原有存量、促使原有存量減少的變量、促使存量增多的變量分別指的是什么，然后按照公式列方程，所有問題都可以迎刃而解 。

例題精講

【例1】：某河段中的沉積河沙可供80人連續(xù)開采6個月或60人連續(xù)開采10個月。如果要保證該河段河沙不被開采枯竭，問最多可供多少人進(jìn)行連續(xù)不間斷的開采?(假定該河段河沙沉積的速度相對穩(wěn)定)

A.25

B.30

C.35

D.40

【答案】B

【解析】本題屬于資源開采，沒有告訴每個人員的開采速度，可以直接套用牛吃草公式。其中y是指河沙初始量, 是指開采速度(單個人員開采速度賦值為1，N則可指參與開采的人數(shù))，x指河沙沉積速度，T指開采時(shí)間。將題干中的條件代入有。聯(lián)立①②可得N=30,要想進(jìn)行不間斷開采，則最大開采速度應(yīng)等于沙河沉積的速度，即N=30，則最多可供30人進(jìn)行開采。故正確答案選B。

【點(diǎn)撥】

【例2】：某輪船發(fā)生漏水事故，漏洞處不斷地勻速進(jìn)水，船員發(fā)現(xiàn)險(xiǎn)情后立即開啟抽水機(jī)向外抽水。已知每臺抽水機(jī)每分鐘抽水20立方米，若同時(shí)使用2臺抽水機(jī)15分鐘能把水抽完，若同時(shí)使用3臺抽水機(jī)9分鐘能把水抽完。當(dāng)抽水機(jī)開始向外抽水時(shí)，該輪船已進(jìn)水( )立方米。

A.360

B.450

C.540

D.600

【答案】B

【解析】本題屬于漏船排水，仍然是牛吃草問題的變形式，可以套用牛吃草公式。這里，抽水機(jī)相當(dāng)于“牛”，進(jìn)水相當(dāng)于新長出來的“草”，抽水前已進(jìn)水量相當(dāng)于“原有草量”，由于本題給出了每臺抽水機(jī)的速度，所以N=抽水機(jī)數(shù)量×每臺抽水機(jī)速度，另外可以設(shè)初始進(jìn)水量為y立方米,設(shè)進(jìn)水速度x立方米/分鐘，T指將水抽干的時(shí)間，將題干中的條件代入有。聯(lián)立①②可得=10，，故當(dāng)抽水機(jī)開始向外抽水時(shí)該輪船已經(jīng)進(jìn)水450立方米。所以選B。

【點(diǎn)撥】

【例3】：由于連日暴雨，某水庫水位急劇上升，逼近警戒水位。假設(shè)每天降雨量一致，若打開2個水閘放水，則3天后正好到達(dá)警戒水位;若打開3個水閘放水，則4天后正好到達(dá)警戒水位。氣象臺預(yù)報(bào)，大雨還將持續(xù)七天，流入水庫的水量將比之前多20%。若不考慮水的蒸發(fā)、滲透和流失，則至少打開幾個水閘，才能保證接下來的七天都不會到達(dá)警戒水位?

A.8

B.7

C.6

D.5

【答案】C

【解析】本題屬于牛吃草問題的變形，只不過不同的是本題的進(jìn)水速度大于放水速度，因此水池的水在不斷增加，而不是減少。但是原有水量的水位到警戒水位之間所能存放的水量是固定的，設(shè)為，進(jìn)水速度設(shè)為，表示放水速度(題目未告訴單個水閘放水速度，可賦值為1，則可指水閘個數(shù))，T表示達(dá)到警戒水位所用的時(shí)間，則有，根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)可得①，②。聯(lián)立①②可得=6，。氣象臺預(yù)報(bào)，流入水庫的水量增加20%，則每天進(jìn)入水庫的水量為，設(shè)至少打開n個水閘可以保證未來7天不達(dá)到警戒水位，則有，解得所以至少打開5.5個水閘才能滿足條件，應(yīng)該向上取整為打開6個水閘。故正確答案選C。

【點(diǎn)撥】

通過以上原理以及例題的講解，相信大家對牛吃草問題有了更加深入的認(rèn)識。在今后的練習(xí)當(dāng)中大家要抓住牛吃草問題公式的本質(zhì)，多加練習(xí)，多加總結(jié)，最后一定可以將這類問題收入囊中。最后預(yù)祝各位考生在考試中脫穎而出，成功上岸。

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